03.大学数学
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大学数学大纲
第一学年
第一学期
高等数学A（一）
- 函数与极限
- 函数的概念与性质
- 数列的极限
- 函数的极限
- 无穷小与无穷大
- 极限运算法则
- 极限存在准则与两个重要极限
- 无穷小的比较
- 函数的连续性与间断点
- 导数与微分
- 导数概念
- 函数的求导法则
- 高阶导数
- 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
- 函数的微分
- 微分中值定理与导数的应用
- 微分中值定理
- 洛必达法则
- 泰勒公式
- 函数单调性与曲线凹凸性的判定
- 函数的极值与最大值最小值
- 函数图形的描绘
- 曲率
- 函数与极限
线性代数
- 行列式
- 二阶与三阶行列式
- 全排列及其逆序数
- n阶行列式的定义
- 行列式的性质
- 行列式按行（列）展开
- 矩阵及其运算
- 矩阵的概念
- 矩阵的运算
- 逆矩阵
- 分块矩阵
- 矩阵的初等变换与线性方程组
- 矩阵的初等变换
- 矩阵的秩
- 线性方程组的解
- 行列式
第二学期
高等数学A（二）
- 不定积分
- 不定积分的概念与性质
- 换元积分法
- 分部积分法
- 有理函数的积分
- 定积分
- 定积分的概念与性质
- 微积分基本公式
- 定积分的换元法和分部积分法
- 定积分的元素法及其应用
- 定积分的应用
- 定积分在几何学上的应用
- 定积分在物理学上的应用
- 微分方程
- 微分方程的基本概念
- 可分离变量的微分方程
- 齐次方程
- 一阶线性微分方程
- 可降阶的高阶微分方程
- 高阶线性微分方程
- 二阶常系数齐次线性微分方程
- 二阶常系数非齐次线性微分方程
- 不定积分
概率论与数理统计
- 概率论的基本概念
- 随机试验与样本空间
- 事件的关系与运算
- 频率与概率
- 等可能概型
- 条件概率
- 独立性
- 随机变量及其分布
- 随机变量
- 离散型随机变量及其分布
- 随机变量的分布函数
- 连续型随机变量及其分布
- 随机变量的函数的分布
- 多维随机变量及其分布
- 二维随机变量
- 边缘分布
- 条件分布
- 相互独立的随机变量
- 两个随机变量的函数的分布
- 随机变量的数字特征
- 数学期望
- 方差
- 协方差及相关系数
- 矩、协方差矩阵
- 概率论的基本概念
第二学年
第一学期
高等数学A（三）
- 向量代数与空间解析几何
- 向量及其线性运算
- 数量积、向量积、混合积
- 平面及其方程
- 空间直线及其方程
- 曲面及其方程
- 空间曲线及其方程
- 多元函数微分法及其应用
- 多元函数的基本概念
- 偏导数
- 全微分
- 多元复合函数的求导法则
- 隐函数的求导公式
- 多元函数微分学的几何应用
- 方向导数与梯度
- 多元函数的极值及其求法
- 二元函数的泰勒公式
- 最小二乘法
- 重积分
- 二重积分的概念与性质
- 二重积分的计算法
- 三重积分
- 重积分的应用
- 含参变量的积分
- 向量代数与空间解析几何
复变函数与积分变换
- 复数与复变函数
- 复数及其代数运算
- 复数的几何表示
- 曲线、区域与无穷远点
- 复变函数
- 复变函数的极限与连续
- 解析函数
- 复变函数的导数与微分
- 解析函数
- 函数可导的充要条件
- 初等解析函数
- 初等多值函数
- 复变函数的积分
- 复变函数积分的概念
- 柯西积分定理
- 柯西积分公式
- 解析函数的高阶导数
- 解析函数的幂级数表示法
- 复数项级数
- 复变函数项级数
- 幂级数
- 解析函数的泰勒展开式
- 解析函数的洛朗展开式
- 孤立奇点的分类
- 留数定理
- 留数定理
- 用留数定理计算实积分
- 辐角原理与儒歇定理
- 傅里叶变换
- 傅里叶积分
- 傅里叶变换
- 傅里叶变换的性质
- 卷积与相关函数
- 多重傅里叶变换
- 拉普拉斯变换
- 拉普拉斯变换的概念
- 拉普拉斯变换的性质
- 拉普拉斯逆变换
- 卷积
- 拉普拉斯变换的应用
- 复数与复变函数
数理方程
- 典型方程与定解条件
- 数学物理方程的导出
- 定解条件
- 数学物理方程的分类
- 分离变量法
- 齐次方程的分离变量法
- 非齐次方程的求解
- 非齐次边界条件的处理
- 行波法
- 一维波动方程的达朗贝尔公式
- 半无限长弦与有限长弦的振动
- 三维波动方程
- 积分变换法
- 傅里叶变换法
- 拉普拉斯变换法
- 典型方程与定解条件
第二学期
高等数学A（四）
- 曲线积分与曲面积分
- 对弧长的曲线积分
- 对坐标的曲线积分
- 格林公式及其应用
- 对面积的曲面积分
- 对坐标的曲面积分
- 高斯公式、通量与散度
- 斯托克斯公式、环流量与旋度
- 无穷级数
- 常数项级数的概念和性质
- 常数项级数的审敛法
- 幂级数
- 函数展开成幂级数
- 函数的幂级数展开式的应用
- 傅里叶级数
- 一般周期函数的傅里叶级数
- 曲线积分与曲面积分
数值分析
- 误差分析
- 误差的来源
- 绝对误差与相对误差
- 有效数字
- 数值运算的误差估计
- 数值计算中应注意的一些原则
- 解线性方程组的直接方法
- 高斯消去法
- 矩阵三角分解法
- 向量和矩阵的范数
- 误差分析
- 解线性方程组的迭代法
- 基本迭代法
- 迭代法的收敛性
- 解非线性方程的迭代法
- 二分法
- 简单迭代法
- 牛顿法
- 弦截法
- 插值法
- 拉格朗日插值
- 牛顿插值
- 埃尔米特插值
- 分段低次插值
- 三次样条插值
- 曲线拟合
- 最小二乘法
- 正交多项式拟合
- 数值积分
- 牛顿-柯特斯公式
- 复化求积公式
- 龙贝格求积公式
- 高斯求积公式
- 常微分方程数值解法
- 简单的数值解法
- 龙格-库塔方法
- 线性多步法
- 方程组及高阶方程
- 误差分析
实变函数与泛函分析初步
- 集合与点集
- 集合及其运算
- 映射
- 等价、基数
- n维欧氏空间上的点集
- 测度论初步
- 外测度
- 可测集
- 可测函数
- 勒贝格积分
- 可测函数列的收敛性
- 勒贝格积分的定义
- 积分的极限定理
- 重积分与累次积分
- 泛函分析初步
- 距离空间
- 巴拿赫空间与希尔伯特空间
- 连续线性算子与连续线性泛函
- 集合与点集
第三学年
第一学期
抽象代数
- 群论
- 群的定义与基本性质
- 子群
- 循环群
- 置换群
- 正规子群和商群
- 群的同态与同构
- 群作用
- 环论
- 环的定义与基本性质
- 子环、理想和商环
- 环的同态
- 整环、域和多项式环
- 唯一分解整环
- 域论
- 域的扩张
- 有限域
- 分裂域
- 可分扩张
- 群论
微分几何
- 曲线论
- 曲线的参数表示
- 曲线的弧长
- 曲线的基本三棱形
- 曲线的曲率和挠率
- 曲线论的基本定理
- 曲面论
- 曲面的参数表示
- 曲面的第一基本形式
- 曲面的第二基本形式
- 曲面上的曲率
- 曲面论的基本公式
- 曲面论的基本定理
- 内蕴几何
- 测地线
- 高斯-博内公式
- 等距变换
- 曲线论
拓扑学基础
- 拓扑空间
- 拓扑空间与连续映射
- 拓扑基
- 邻域与邻域系
- 度量空间与连续性
- 分离性与可数性
- 分离公理
- 可数性公理
- 连通性
- 局部连通性
- 紧致性
- 紧空间
- 紧致性的性质
- 紧致度量空间
- 基本群
- 道路连通性
- 基本群的概念
- 基本群的计算
- 拓扑空间
第二学期
偏微分方程
- 数学物理方程的建立
- 波动方程
- 热传导方程
- 拉普拉斯方程
- 定解条件的提法
- 分离变量法
- 齐次边界条件下的分离变量法
- 非齐次方程与非齐次边界条件
- 高维问题的分离变量法
- 积分变换法
- 傅里叶变换方法
- 拉普拉斯变换方法
- 其他积分变换方法
- 格林函数法
- 格林公式
- 格林函数的概念
- 特殊区域上的格林函数
- 变分方法
- 边值问题的变分形式
- 变分原理
- 里茨-加辽金方法
- 数学物理方程的建立
运筹学
- 线性规划
- 线性规划问题的标准形式
- 线性规划的基本性质
- 单纯形方法
- 对偶理论
- 灵敏度分析
- 整数规划
- 分枝定界法
- 割平面法
- 0-1规划
- 非线性规划
- 非线性规划的基本概念
- 无约束优化
- 约束优化的最优性条件
- 二次规划
- 图论与网络优化
- 图的基本概念
- 最短路径问题
- 最大流问题
- 最小费用流问题
- 匹配问题
- 线性规划
数学建模
- 数学建模概述
- 数学建模的基本概念
- 数学建模的一般步骤
- 数学建模的分类
- 初等模型
- 比例模型
- 几何模型
- 优化模型
- 微分方程模型
- 人口模型
- 传染病模型
- 生态系统模型
- 力学模型
- 差分方程模型
- 人口增长模型
- 经济模型
- 差分方程稳定性理论
- 随机模型
- 随机服务模型
- 随机过程模型
- 马尔可夫链模型
- 数学建模概述
第四学年
第一学期
微分方程几何理论
- 常微分方程的基本理论
- 解的存在唯一性定理
- 解的延展
- 解对初值和参数的连续性与可微性
- 平面系统的定性理论
- 平面系统的奇点
- 极限环
- Poincaré映射
- 结构稳定性
- 稳定性理论
- Lyapunov稳定性概念
- Lyapunov函数方法
- 线性系统的稳定性
- 非线性系统的稳定性
- 常微分方程的基本理论
调和分析
- 傅里叶级数
- 傅里叶级数的收敛性
- 共轭函数
- 傅里叶变换
- 缓增分布
- Hardy-Littlewood极大函数
- 极大函数的性质
- 微分定理
- 可微性
- 奇异积分算子
- Hilbert变换
- Calderón-Zygmund理论
- 傅里叶级数
代数拓扑
- 单纯同调
- 单纯复形
- 单纯同调群
- 奇异同调
- 同调群的性质
- 基本群与覆盖空间
- 基本群的性质
- 覆盖空间理论
- 万有覆盖空间
- 同伦论初步
- 同伦的定义
- 同伦群
- 单纯同调
第二学期
数值代数
- 矩阵分析基础
- 矩阵的范数
- 矩阵的特征值与奇异值
- 矩阵的微分与积分
- 矩阵分解
- LU分解
- QR分解
- 奇异值分解
- Schur分解
- 极分解
- 特征值问题的数值方法
- 幂法与反幂法
- QR方法
- Jacobi方法
- 广义逆矩阵
- 广义逆的定义
- 广义逆的计算方法
- 广义逆的应用
- 矩阵分析基础
控制理论
- 经典控制理论
- 传递函数
- 系统的时域分析
- 系统的频域分析
- 稳定性理论
- 现代控制理论
- 状态空间描述
- 线性系统的能控性与能观性
- 状态反馈与状态观测器
- 最优控制理论初步
- 经典控制理论
小波分析
- 傅里叶分析回顾
- 傅里叶变换
- 采样定理
- 窗口傅里叶变换
- 小波变换
- 连续小波变换
- 离散小波变换
- 小波的性质
- 多分辨率分析
- 多分辨率分析的概念
- 正交小波基的构造
- 双正交小波
- 小波的应用
- 信号处理
- 图像处理
- 数值分析
- 傅里叶分析回顾
专业方向选修课程
计算数学方向
- 矩阵计算
- 数值优化
- 有限元方法
- 计算流体力学
概率统计方向
- 随机过程
- 数理统计
- 时间序列分析
- 统计推断
应用数学方向
- 数学物理方法
- 生物数学
- 金融数学
- 离散数学
基础数学方向
- 点集拓扑
- 代数学
- 几何学
- 分析学
主要数学软件应用
- MATLAB
- Mathematica
- Maple
- Python (NumPy, SciPy)
- R
- LaTeX
重要数学公式与定理
微积分基本定理
- 牛顿-莱布尼茨公式：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)
- 格林公式：∮_C Pdx + Qdy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy
- 高斯公式：∯_S F·dS = ∭_V div F dV
- 斯托克斯公式：∮_C F·dr = ∬_S curl F·dS
线性代数基本定理
- 矩阵特征值：det(A - λI) = 0
- 矩阵的秩-零度定理：rank(A) + nullity(A) = n
- 谱定理：实对称矩阵可正交对角化
概率与统计
- 中心极限定理：(X̄ - μ)/(σ/√n) → N(0,1)
- 大数定律：X̄ → E(X)
- 贝叶斯定理：P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)
数学分析
- 泰勒公式：f(x) = Σ f^(n)(a)(x-a)^n/n!
- 拉格朗日中值定理：f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)
- 柯西-施瓦茨不等式：|⟨u,v⟩| ≤ ||u|| ||v||
- 黎曼-勒贝格引理
复变函数
- 柯西积分公式：f(a) = (1/2πi)∮ f(z)/(z-a) dz
- 留数定理：∮ f(z)dz = 2πi Σ Res(f,ak)
- 柯西积分定理：∮ f(z)dz = 0 (f(z)解析)
代数学基本定理
- 代数基本定理：n次复系数多项式有n个复根
- 拉格朗日定理（群论）：|H| 整除 |G|
- 中国剩余定理