02.高中数学
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高中数学大纲
必修课程
必修第一册
集合与常用逻辑用语
- 集合的概念
- 理解集合的含义，能用适当的方法表示集合
- 了解元素与集合的"属于"关系
- 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题
- 体会集合语言的意义和作用
- 集合间的基本关系
- 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集
- 在具体情境中，了解全集与空集的含义
- 掌握集合相等的判断方法
- 集合的基本运算
- 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集
- 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集
- 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用
- 充分条件与必要条件
- 通过实例理解充分条件、必要条件的意义
- 会判断必要条件、充分条件、充要条件
- 能用集合的观点理解充分条件、必要条件
- 全称量词与存在量词
- 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义
- 能正确地对含有一个量词的命题进行否定
- 体会量词的作用
- 集合的概念
一元二次函数、方程和不等式
- 等式性质与不等式性质
- 掌握等式的基本性质
- 掌握不等式的基本性质并能加以证明
- 能利用不等式的性质比较数（式）的大小
- 体会不等式与等式的异同
- 基本不等式
- 了解基本不等式的证明过程
- 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
- 体会基本不等式在实际问题中的应用
- 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式
- 了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系
- 掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
- 会解一元二次不等式
- 体会函数、方程、不等式的内在联系
- 等式性质与不等式性质
函数概念与性质
- 函数的概念及其表示
- 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型
- 理解函数的概念和函数定义域、值域及对应法则
- 会求简单函数的定义域和值域
- 了解映射的概念
- 函数的基本性质（单调性、最大值、最小值）
- 理解函数的单调性及其几何意义
- 了解奇偶性的含义
- 会运用函数图象理解和研究函数的性质
- 理解函数最大（小）值及其几何意义
- 幂函数
- 了解幂函数的概念
- 结合函数y=x, y=x², y=x³, y=1/x, y=x^(1/2)的图象，了解它们的变化情况
- 体会幂函数随幂指数改变的性质变化规律
- 函数的应用
- 结合实际情境，感受运用函数概念建立模型的过程和方法
- 体会函数模型在实际问题中的应用
- 会用函数知识解决实际问题
- 函数的概念及其表示
三角函数
- 任意角和弧度制
- 了解任意角的概念和弧度制的概念
- 能进行弧度与角度的互化
- 体会引入弧度制的必要性
- 任意角的三角函数
- 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
- 能判断三角函数值的符号
- 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型
- 诱导公式
- 借助单位圆理解三角函数的诱导公式
- 能运用诱导公式进行三角函数的求值、化简
- 发展推理能力
- 三角函数的图象与性质
- 能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象
- 了解三角函数的周期性
- 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在(-π/2,π/2)上的性质
- 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
- 了解函数y=Asin(ωx+φ)中参数A，ω，φ对函数图象变化的影响
- 会用三角函数解决一些简单实际问题
- 体会三角函数是刻画周期现象的重要数学模型
- 三角恒等变换
- 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程
- 能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式
- 能运用公式进行简单的恒等变换
- 三角函数的应用
- 能用三角函数解决简单的实际问题
- 进一步体会三角函数的应用价值
- 发展数学建模素养
- 任意角和弧度制
必修第二册
平面向量及其应用
- 平面向量的概念
- 了解向量的实际背景
- 理解平面向量的概念和向量相等的含义
- 理解向量的几何表示
- 平面向量的运算
- 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义
- 掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义
- 了解向量共线的条件
- 体会向量运算在解决数学问题中的作用
- 平面向量基本定理及坐标表示
- 了解平面向量基本定理及其意义
- 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
- 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
- 理解用坐标表示的平面向量共线的条件
- 平面向量的数量积
- 通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义
- 体会平面向量的数量积与向量投影的关系
- 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
- 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
- 平面向量应用举例
- 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
- 会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题
- 体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具
- 平面向量的概念
复数
- 复数的概念
- 了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用
- 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
- 了解复数的代数表示法及其几何意义
- 复数的四则运算
- 理解复数代数形式的四则运算法则
- 能进行复数代数形式的四则运算
- 了解两个具体复数相加、相减的几何意义
- 复数的三角表示
- 了解复数的三角形式
- 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
- 体会复数与平面向量的联系
- 复数的概念
立体几何初步
- 基本立体图形
- 利用实物模型、计算机软件观察空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征
- 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构
- 简单几何体的表面积与体积
- 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式
- 会用这些公式计算一些简单几何体的表面积和体积
- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义
- 了解可以作为推理依据的4个公理和等角定理
- 了解空间中线、面平行和垂直的判定定理和性质定理
- 空间中的角与距离
- 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
- 体会向量方法在研究几何问题中的作用
- 基本立体图形
统计
- 随机抽样
- 了解随机抽样的意义
- 了解系统抽样和分层抽样的方法
- 掌握简单随机抽样的方法
- 了解不同抽样方法的适用范围
- 用样本估计总体
- 体会分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图
- 认识样本数据的特征和样本的代表性
- 会计算数据平均数和方差，理解样本估计总体的思想
- 统计案例
- 通过实例理解最小二乘法的思想
- 会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
- 体会统计在实际生活中的应用
- 随机抽样
概率
- 随机事件与概率
- 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性
- 了解概率的意义以及频率与概率的区别
- 了解两个互斥事件的概率加法公式
- 事件的相互独立性
- 了解两个事件相互独立的概念
- 能计算两个独立事件同时发生的概率
- 频率与概率
- 了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念
- 了解超几何分布模型
- 随机事件与概率
选择性必修课程
选择性必修第一册
空间向量与立体几何
- 空间向量及其运算
- 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程
- 了解空间向量的概念、表示方法和相等向量的意义
- 掌握空间向量的线性运算及其运算律
- 空间向量基本定理
- 了解共线向量定理和共面向量定理
- 理解空间向量基本定理并能应用
- 体会类比与推广的思想
- 空间向量的坐标表示
- 了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示
- 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示
- 掌握空间向量的数量积及其坐标表示
- 能用向量的数量积判断向量的共线与垂直
- 空间向量的应用
- 能用向量方法解决立体几何中的一些简单问题
- 体会向量方法在研究立体几何中的作用
- 发展学生的空间想象能力和几何直观素养
- 空间向量及其运算
直线和圆的方程
- 直线的倾斜角与斜率
- 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索并掌握直线的倾斜角与斜率的概念
- 理解直线的倾斜角和斜率的关系
- 能根据斜率判定两条直线平行或垂直
- 直线的方程
- 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）
- 体会斜截式与一次函数的关系
- 直线的交点坐标与距离公式
- 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标
- 探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离
- 圆的方程
- 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程
- 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系
- 直线与圆的位置关系
- 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题
- 在平面几何问题代数化的过程中，体会解析几何的思想
- 直线的倾斜角与斜率
圆锥曲线与方程
- 椭圆
- 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
- 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质
- 双曲线
- 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
- 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质
- 抛物线
- 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
- 经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质
- 直线与圆锥曲线的位置关系
- 了解曲线与方程的对应关系，进一步体会"曲线的方程"与"方程的曲线"的含义
- 能根据给定的直线和圆锥曲线的方程，判断直线与圆锥曲线的位置关系
- 能用坐标方法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题
- 椭圆
选择性必修第二册
数列
- 数列的概念与表示
- 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）
- 了解数列是自变量为正整数的一类函数
- 体会数列与函数之间的关系
- 等差数列
- 理解等差数列的概念
- 探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
- 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题
- 等比数列
- 理解等比数列的概念
- 探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式
- 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题
- 数列求和
- 会求等差数列、等比数列的前n项和
- 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系
- 掌握一些数列求和的基本方法
- 数学归纳法
- 了解数学归纳法的原理
- 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
- 体会归纳-猜想-证明的数学思维过程
- 数列的概念与表示
一元函数导数及其应用
- 导数的概念及其意义
- 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景
- 理解导数的几何意义，能利用导数研究函数的单调性
- 体会导数的思想及其内涵
- 导数的运算
- 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x²，y=x³，y=1/x，y=√x的导数
- 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
- 会求简单复合函数（仅限于形如f(ax+b)）的导数
- 导数在研究函数中的应用
- 会用导数求函数的单调区间与极值
- 会用导数求函数在闭区间上的最大值、最小值
- 能利用导数解决某些实际问题
- 用导数研究函数的零点
- 会利用导数判断函数零点的个数
- 能用导数方法解决方程根的个数问题
- 体会导数在函数性质研究中的作用
- 定积分的概念与微积分基本定理
- 了解定积分的实际背景，初步体会定积分的思想及其应用
- 了解微积分基本定理
- 体会微积分在实际生活中的应用
- 导数的概念及其意义
选择性必修第三册
计数原理
- 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
- 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理
- 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题
- 排列与组合
- 通过实例，理解排列、组合的概念
- 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式
- 能解决简单的实际问题
- 二项式定理
- 能用计数原理证明二项式定理
- 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
- 体会二项式定理在解决问题中的应用
- 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
概率与统计
- 条件概率与全概率公式
- 结合古典概型，了解条件概率的意义及其与独立性的关系
- 了解全概率公式
- 能结合古典概型解决简单的实际问题
- 离散型随机变量及其分布列
- 通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念
- 认识分布列对于刻画随机现象的重要性
- 离散型随机变量的数字特征
- 理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的概念
- 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题
- 二项分布与超几何分布
- 通过具体实例，理解超几何分布及其导出过程
- 了解条件概率和两个事件相互独立的概念
- 通过具体实例，理解n次独立重复试验的模型及二项分布
- 正态分布
- 通过具体实例，了解正态分布及其应用
- 了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义
- 成对数据的统计相关性
- 了解相关关系和函数关系的联系与区别
- 了解样本相关系数的统计含义
- 了解样本相关系数与相关性强弱的关系
- 条件概率与全概率公式
选修课程
选修A（理科方向）
数系的扩充与复数的引入
- 复数的几何意义
- 理解复数的几何意义，了解复数与复平面内的点、平面向量的一一对应关系
- 理解复数的模的概念及其几何意义
- 能利用复数的几何意义解决简单问题
- 复数的四则运算的几何意义
- 掌握复数代数形式的四则运算法则
- 了解复数加、减运算的几何意义
- 理解复数乘、除运算的几何意义及三角形式的应用
- 复数的几何意义
导数及其应用深化
- 导数的综合应用
- 能利用导数解决更复杂的函数性质研究问题
- 掌握利用导数证明不等式的方法
- 能解决一些综合性的实际应用问题
- 定积分的物理应用
- 了解定积分的物理背景及应用
- 能用定积分解决简单的物理问题
- 体会微积分在物理学中的重要应用
- 导数的综合应用
坐标系与参数方程
- 坐标系
- 了解极坐标系的概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置
- 理解极坐标与直角坐标的互化关系
- 了解球坐标系、柱坐标系
- 参数方程
- 了解参数方程的概念，了解参数的意义
- 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
- 了解参数方程、普通方程的互化
- 坐标系
不等式选讲
- 绝对值不等式
- 理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义求解一些绝对值不等式
- 了解绝对值不等式的解法
- 柯西不等式
- 了解二维形式的柯西不等式的几种不同形式
- 理解它们的几何意义
- 能用它们证明一些简单问题
- 排序不等式
- 了解排序不等式
- 能利用排序不等式证明一些简单不等式
- 体会不等式的应用价值
- 绝对值不等式
选修B（文科方向）
框图
- 流程图
- 通过具体实例，进一步认识程序框图
- 了解工序流程图（即统筹图）
- 能绘制简单实际问题的流程图，体会程序框图在解决问题中的作用
- 结构图
- 通过实例，了解结构图
- 运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的信息资料
- 体会结构图在揭示事物联系中的作用
- 流程图
推理与证明
- 合情推理与演绎推理
- 结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义
- 能利用归纳和类比等进行简单的推理
- 体会并认识合情推理在数学发现中的作用
- 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性
- 掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理
- 体会合情推理和演绎推理之间的联系和差异
- 直接证明与间接证明
- 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法
- 了解分析法和综合法的思考过程、特点
- 结合已经学过的数学实例，了解反证法是间接证明的一种基本方法
- 了解反证法的思考过程、特点
- 数学归纳法（理科不作要求）
- 了解数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的重要方法
- 理解数学归纳法的原理
- 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
- 合情推理与演绎推理
数学思想方法
主要数学思想
- 函数与方程思想：函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程组），然后通过解方程（组）或不等式来使问题获解
- 数形结合思想：数形结合是数学中最重要、最基本的思想方法之一，它包括"以形助数"和"以数解形"两个方面
- 分类讨论思想：当一个问题难以用统一的方法处理时，常常将问题分成若干个局部问题来解决，然后综合起来得出整个问题的解决方案
- 化归与转化思想：在解决数学问题时，通常将待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终获得原问题的解答
主要数学方法
- 配方法：将一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式
- 换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化
- 待定系数法：要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法
- 数学归纳法：证明与正整数n有关的命题的一种方法
- 反证法：先假设结论的反面成立，然后经过正确的推理，说明假设是错误的，从而证明原命题成立的方法
- 构造法：根据题设条件或结论的特征，用已知元素构造出新的数学形式，并使其有效发挥作用的解题方法
核心素养
- 数学抽象：通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养
- 逻辑推理：从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的素养
- 数学建模：对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养
- 直观想象：借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何直观理解、解决数学问题的素养
- 数学运算：在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养
- 数据分析：针对研究对象获取、分析数据，提取信息，构建模型，进而解决问题的素养
重要公式汇总
代数公式
- 二次方程求根公式：x = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a (a≠0)
- 韦达定理：对于方程ax²+bx+c=0的两根x₁、x₂，有：x₁+x₂ = -b/a, x₁·x₂ = c/a
- 二项式定理：(a+b)ⁿ = Σ(k=0 to n) C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ，其中C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]
三角函数公式
- 基本关系：sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α / cos α, 1 + tan²α = sec²α
- 和差公式：sin(α±β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α±β) = cos α cos β ∓ sin α sin β; tan(α±β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β)
- 二倍角公式：sin 2α = 2sin α cos α, cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α, tan 2α = 2tan α/(1 - tan²α)
- 三倍角公式：sin 3α = 3sin α - 4sin³α, cos 3α = 4cos³α - 3cos α
- 和差化积公式：sin α + sin β = 2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2], cos α + cos β = 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
导数公式
- 基本初等函数导数：(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (tan x)' = sec²x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, (log_a x)' = 1/(x ln a), (aˣ)' = aˣ ln a
- 复合函数求导：[f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)
- 导数运算法则：[u±v]' = u'±v', [uv]' = u'v+uv', [u/v]' = (u'v-uv')/v²
积分公式
- 基本积分公式：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n≠-1), ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C, ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫1/x dx = ln|x| + C
- 定积分性质：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) (F(x)是f(x)的原函数)
- 微积分基本定理：如果F(x) = ∫[a,x] f(t)dt，则F'(x) = f(x)
向量公式
- 向量模长：|a| = √(x²+y²+z²) (a = (x,y,z))
- 向量数量积：a·b = |a||b|cos θ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ (a=(x₁,y₁,z₁), b=(x₂,y₂,z₂))
- 向量叉积：|a×b| = |a||b|sin θ (结果向量方向由右手定则确定)
- 向量数量积的性质：a·b = 0 (a⊥b时), a·a = |a|²
解析几何公式
- 两点间距离：|AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
- 点到直线距离：d = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) (直线ax+by+c=0, 点(x₀,y₀))
- 圆的方程：标准式(x-a)²+(y-b)²=r², 一般式x²+y²+Dx+Ey+F=0
- 椭圆方程：标准式x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)
- 双曲线方程：标准式x²/a²-y²/b²=1
- 抛物线方程：标准式y²=2px (p>0)
概率统计公式
- 概率加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
- 条件概率：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
- 全概率公式：P(A) = Σ P(A|B_i)P(B_i)
- 贝叶斯公式：P(B_i|A) = P(A|B_i)P(B_i)/Σ P(A|B_j)P(B_j)
- 期望与方差：E(X) = Σ x_i·P(x_i), D(X) = E(X²) - [E(X)]²
- 二项分布：P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ, E(X) = np, D(X) = np(1-p)